Yuk baca cuplikan cerita di bawah ini….

Tahukah kamu apa itu pangkat sempurna? 

Pangkat sempurna adalah sebuah bilangan bulat positif yang dapat dinyatakan sebagai hasil pangkat dua dari suatu bilangan bulat positif. Dalam matematika, pangkat sempurna seringkali diwakili oleh bilangan kuadrat (misalnya, 1, 4, 9, 16, 25, dan seterusnya) karena mereka adalah hasil dari suatu bilangan bulat positif yang dipangkatkan dua.

Secara umum pangkat sempurna juga bisa lebih umum dinyatakan sebagai 

n^b

di mana n dan b adalah bilangan bulat positif.

Misalnya 

• 4 adalah pangkat sempurna karena dapat dinyatakan sebagai 2².
• 9 adalah pangkat sempurna karena dapat dinyatakan sebagai 3².
• 16 adalah pangkat sempurna karena dapat dinyatakan sebagai 2⁴ atau 4².
• 25 adalah pangkat sempurna karena dapat dinyatakan sebagai 5².

Nah kembali ke cuplikan cerita di atas apa nih hubungannya dengan Pangkat Sempurna? 

Jadi konon dahulu kala di Jepang hiduplah seorang petani yang awalnya miskin, tapi berkat kerja kerasnya dia mampu menjadi seorang jenderal yaitu Hideyoshi Toyotomi. Dalam kisah di atas, pernah suatu hari Hideyoshi berniat memberikan hadiah untuk Shinzaemon Sorori. 

Setelah ditanyakan permintaan Shinzaemon adalah permintaan sederhana menurut Hideyoshi yaitu ia ingin diberi beras berdasarkan jumlah tatami yang ada di rumahnya yang memiliki 100 tatami. (Tatami adalah  tikar yang berasal dari Jepang, dibuat secara tradisional dengan bahan jerami yang ditenun, namun sekarang mulai banyak jenis tikar ini yang tidak dibuat dari jerami tetapi menggunakan bahan sintetis seperti Styrofoam). 

Namun tidak sesederhana itu Ferguso, hehehe…

Karena yang diminta Shinzaemon adalah sebutir beras pada tatami pertama dan pada tatami berikutnya dua kali lipat tatami sebelumnya. Artinya apa? Mari kita pelajari langkah berikut ini.

             

Ternyata kalau kita lihat tatami ke 100 membutuhkan 2⁹⁹ butir beras lho..Jangan lupa, 2⁹⁹ adalah bilangan pangkat sempurna ya. Coba deh kalian cek berapa nilai dari 2⁹⁹ di kalkulator…Hmmm membagongkan yaaa hasilnya…

Nah karena ada 100 tatami, jadi berapa tuh jumlah butir beras yang harus diberikan Hideyoshi kepada Shinzaemon? Mari kita hitung..

Ternyata dibutuhkan sebanyak ( 2^{100 – 1} ) butir beras lho untuk memenuhi permintaan Shinzaemon. Kalau cek di kalkulator, 

2^{100 – 1} = 1267650600228229501496703205375 = 1267 x 10²⁷ butir

Menurut sebuah penelitian, berat 1 butir beras berbulir panjang adalah ¹/₆₄ gr. Berarti 

Berat beras yang diminta oleh Shinzaemon adalah 

= 1267 x 10²⁷ x ¹/₆₄ gr
= 19,80 x 10²⁷ gr
= 19,80 x 10²⁴ kg
= 1,980 x 10²² ton

Kebayang gaaa 1,980 x 10²² ton itu berapa banyak… 

Jadi kesalahan besar Hideyoshi adalah menganggap remeh pangkat sempurna yaaa..walaupun hanya 2x lipat, tapi jika sampai 100x hasilnya akan exponensial (melambung jauh)… Sudah paham yaa..

Nah supaya lebih jelas lagi, mari kita berlatih tentang Pangkat Sempurna.

Contoh Soal 1

Tentukan apakah 81 adalah pangkat sempurna. Jika iya, berikan representasi pangkat sempurna tersebut.

Pembahasan : 

Untuk menentukan apakah 81 adalah pangkat sempurna, kita perlu mencari bilangan bulat positif n dan b sehingga 81 = n^b. Kita dapat mencoba nilai m secara berurutan, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya, untuk mencari nilai b yang memenuhi persamaan tersebut. Maka akan kita dapatkan

81 = 3⁴
81 = 9²

Dengan demikian, 81 adalah pangkat sempurna dan dapat dinyatakan sebagai 9² atau 3⁴

 

Contoh Soal 2

Tentukan apakah 100 adalah pangkat sempurna. Jika iya, berikan representasi pangkat sempurna tersebut.

Pembahasan: 

Untuk menentukan apakah 100 adalah pangkat sempurna, kita perlu mencari bilangan bulat positif n dan b sehingga 100 = n^b . Kita dapat mencoba nilai m secara berurutan, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya, untuk mencari nilai b yang memenuhi persamaan tersebut.

Ketika mencoba berbagai nilai n, kita melihat bahwa tidak ada bilangan bulat positif n yang, jika dipangkatkan dengan bilangan bulat positif b, menghasilkan 100. Oleh karena itu, 100 bukanlah pangkat sempurna.

Dalam kasus ini, tidak ada representasi pangkat sempurna untuk 100.

Penting untuk diingat bahwa tidak semua bilangan adalah pangkat sempurna, dan terkadang kita mungkin tidak dapat menemukan representasi pangkat sempurna untuk suatu bilangan tertentu. ~ Suci Utari